[수학] 피보나치수열과 황금비

피보나치 수열과 황금비

 

피보나치 수열에서 연속한 항들의 비를 택하면 다음과 같은 수열을 얻는다.

 

1/1 (=1), 2/1 (=2), 3/2 (=1.5), 5/3 (≒1.667), 8/5 (=1.6), 13/8 (≒1.625), 21/13 (≒1.615), 34/21 (≒1.619), 55/34(≒1.618), 89/55(≒1.618), …

 

 놀랍게도, 이 수열의 극한은 실제로 황금비 (√5 +1)/2 이다.

 옆의 그림은 피보나치 수열을 이용하여 황금 직사각형을 연속적으로 작도한 것이다. 먼저 한 변이 1인 정사각형 두 개(피보나치 수열의 제 1, 2항)를 나란히 그리고 다시 이 두변의 합을 한 변(길이 2 - 피보나치 수열의 제3항)으로하는 정사각형을 그린다. 다시 피보나치 수열의 제2, 3항의 합을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 다시 제3항,4항의 합을 한 변으로 하는 정사각형을 그려나가는 식으로 그려나가면....

 

 이렇게 만들어지는 직사각형은 작도가 진행됨에 따라 황금 직사각형이 되는데 이는 앞에서 살펴본 바와 같이 피보나치 수열의 비는 황금비를 이루기 때문이다.

 

 

 

또한  이 사각형의 안쪽 대각 꼭지점부터 각 정사각형의  대각 꼭지점들을 연결하면

하나의 아름다운 곡선을 얻을 수 있는데 이것이 바로 등각나선이다. 이렇게 아름다운 곡선 나선이 탄생한다.  옆 그림을 누르면  작도과정을 보여줍니다.

 

 

 

 앵무조개의 껍질이 여기에 딱 들어맞는 형상이다.